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補償器是使控制系統(tǒng)在動態(tài)運行中快速穩(wěn)定的電子濾波器。在絕大多數(shù)研究中，補償器是置于運算放大器(運放) 周圍的一個有源電路，其特性鑒定為完美。如果這種方法適用于低帶寬系統(tǒng)，如今的轉換器即使輸出電容小，只要交越頻率超過100千赫就能確保足夠快的瞬態(tài)響應以限制輸出壓降。在這些應用中，若一個完美運放不行的話，最終會導致嚴重的增益和相位失真。如果展示開環(huán)增益和所選運放的低、高頻兩個極點如何影響整體動態(tài)響應，您就可選擇恰當?shù)脑獬绊懡辉剿璧脑鲆婧拖辔恍阅鼙碚?。文本共有兩部分，這第一部分主要介紹開環(huán)增益的影響，特意先不談低頻和高頻兩極點。第二部分將探討這些額外的極點的影響，并展示如果沒有適當選擇，它們會如何影響最終結果。

 

 

補償器的作用是形成一個給定電路的頻率響應-例如降壓轉換器-以便一旦閉環(huán)，控制系統(tǒng)表現(xiàn)出所需的交越頻率fc和適當?shù)南辔?增益裕度。補償器通過提供在fc的一些中期波段的增益或衰減強行形成0 dB交越點。相位裕度?m由補償器在fc表現(xiàn)出的相位增量(phase boost)調節(jié)。最后，增益裕度取決于交越后補償器調降增益的能力。

 

補償器有不同的類型，其在開關轉換器中通常稱為type 1、type 2和type 3。所有三個型號在原點都有一個極點以提供最大可用準靜態(tài)增益（S = 0），從而提供一個精確的輸出變量。type-1補償器是個簡單的積分電路，完全不提供相位增量。type 2基于type 1，增加了一個極/零對，最多有90°的相位增量，常見于電流模式電源，可提供大量補償。最后，type-3電路提供另一個極零對，可增加相位達180°。圖1所示為三種補償器的頻率響應（幅值和相位）及各自的傳遞函數(shù)表達式。

 

圖1：您選擇的補償器與您想要的相位增量有關。

 

type-2補償器常見于電流模式電源，其相位增量最大達90°，可提供大量補償。圖2所示為它置于運算放大器周圍的電路圖。您可看到檢測所監(jiān)測變量（本例中的輸出電壓Vout）的一個電阻分壓器和幾個形成濾波器的無源元件。為確定該轉換器的傳遞函數(shù)，我們將首先考量運放的開環(huán)增益AOL，并看看它如何影響最終的表達式。該電路的傳遞函數(shù)G是聯(lián)系激勵信號Vout到輸出響應VFB的數(shù)學關系。

 

圖2：在該補償器中，我們認為運放具有有限的開環(huán)增益，但尚不考慮其內部極點。

 

 

有許多確定濾波器動態(tài)響應的方法，本文將使用如快速分析電路技術（Fast Analytical Technique，簡稱FACT）。FACT的基本原理是確定在兩個不同條件下的電路時間常數(shù)：激勵信號消失（Vout降至0V）時和響應清零（VFB = 0）時。通過使用這種技術，您將領會用它確定一個特定的傳遞函數(shù)有多快速和直觀。

 

一個具有非零準靜態(tài)增益的一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可表示為：

 

（1）

 

首項G0是S=0時系統(tǒng)表現(xiàn)出的增益。視情況而定，該項帶有單位。在這里，因為我們所說的增益是[V]/[V]，沒有單位，G是無量綱的。分子的N(s)控制傳遞函數(shù)的零點。在數(shù)學上，零點是個特定的點sz，無信號響應。從理論上講，考慮到激勵信號覆蓋整個s面（諧波模式下不僅在垂直軸），當輸入信號調到零角頻率sz，零點表現(xiàn)為無信號的輸出響應。電路中一些特定阻抗組合阻擋了信號傳播，響應為0V，盡管存在激勵源。零點是分子的根。請注意這是個實用的數(shù)學抽象，極其有助于通過檢測找到零點，無需寫一連串代數(shù)。

 

分母D(s)由電路自然時間常數(shù)構成。通過設置激勵信號為0和確定這種結構中所考慮的電容或電感“所示”的阻抗而得出這些時間常數(shù)?=RC或?=L/R。如您想象把歐姆表置于暫時移除的電容或電感器，并讀取它顯示的電阻。這其實是個相當簡單的運用。看看圖3無源電路，可看到一個注入源(換言之，一個激勵源)正加偏壓于左邊回路。輸入信號通過網(wǎng)格和節(jié)點傳播，形成您看到的電阻R3上的響應。

 

圖3：確定電路的時間常數(shù)需要將激勵源設為0，并看看從電路中暫時移除的儲能元件所提供的電阻。

 

為確定本示例電路的時間常數(shù)，我們將激勵源設為0（一個0V電壓源短路和0A電流源開路），拆下電容器。然后，我們連接（在腦海中想象）一個歐姆表，以確定由電容器端提供的電阻。圖4引導您進行這些步驟。

 

圖4：在0V源短路后，您確定電容器端的電阻。

 

如果您按圖4進行運用，您“想象”R1與R2并聯(lián)后與與R4串聯(lián)，所有這些與R3并聯(lián)后與rC串聯(lián)。該電路的時間常數(shù)只通過R和C1即可計算得出：

 

（2）

 

我們可證明，一階系統(tǒng)的極點是其時間常數(shù)的倒數(shù)。因此：

 

（3）

 

現(xiàn)在，s = 0時這個電路的準靜態(tài)增益是多少？在直流條件下，電感器短路，電容器開路。把這概念應用于圖3的電路，繪制如圖5所示。您想象在R4前斷開連接，會看到一個含R1和R2的電阻分壓器。R2上的戴維寧(Thévenin)電壓為：

 

（4）

 

輸出電阻Rth 是R1與R2并聯(lián)的值。因此完整的傳遞函數(shù)涉及到電阻分壓器(由與Rth 串聯(lián)的R4和加載的R3所構成)。rC是斷開的，由于電容C1在這直流分析中被拆下。因此：

 

（5）

 

圖5：您斷開直流電路中的電容器，計算這簡單的電阻配置的傳遞函數(shù)。

 

我們如何知道是否有零點？嗯，這里有個有用的技巧：您想象圖3的電路，使電容C1短路?，F(xiàn)在假設您為具有短路電容器的電路提供激勵信號。您能夠基于示波器觀察Vout的響應嗎？當然rC使R3短路，盡管振幅可能低，輸入信號仍會傳輸并有響應。若“盡管C1短路但仍有響應”，那么有與C1有關的零點。處理含電感L1的電路亦然(但采用電感開路)。

 

我們前面提到，零點通過阻斷激勵信號的傳播而在電路中表現(xiàn)出來，輸出響應為0。如果我們考慮一個變形電路–其中C1由1/SC1代替–如圖6所示，當激勵源加偏壓于電路，有什么特定的條件意味著無信號響應？無信號響應只意味流過R3的電流為0。如果電阻沒有電流，沒有電壓施加和Vout是0V，這不是短路，而是虛擬的接地。

 

圖6：在這變形電路中，當串聯(lián)的rC和C1轉化為短路，響應消失。

 

如果R3沒有電流，那么串聯(lián)的rC和1/SC1轉化為短路：

 

（6）

 

根sz是我們需要的零點位置：

 

（7）

 

從而有：

 

（8）

 

現(xiàn)在，我們可以組合所有這些結果，形成以圖3電路為特征的最終的傳遞函數(shù)：

 

（9）

 

這就是所謂的低熵表達式，您可立即識別增益、極點和零點。高熵表達式將在考量阻抗分壓器時通過施加大規(guī)模外力到原來的電路來獲得，例如：

 

（10）

 

不只您可能在推導表達式時犯錯誤--我也會！但是將結果格式化到像（9）這樣需要更多的精力。此外，請注意，在寫（9）時我們沒有寫一行代數(shù)。如果我們后來發(fā)現(xiàn)一個錯誤，那么易于回到一個單獨的圖紙并單獨修正它。（9）的校正將是容易的?，F(xiàn)在嘗試對（10）進行相同的修正，您可能會從頭開始。您比對一下，在Mathcad®表繪制的表達式（9）和（10）的頻率響應是相同的，如圖7所示。

 

圖7：快速Mathcad®說明用FACT推導出的表達式是否與由原表達式返回的響應相匹配。

 

FACT的簡介意在說明，無論對簡單電路還是更復雜的電路使用它們，都很簡單和高效。通過將一個復雜的體系結構分解為簡單的單獨的電路，您可以很快地寫出傳遞函數(shù)，有時只需觀察就能寫出，正如我們所做的那樣。既然我們已介紹了工具，讓我們把它應用到我們的type 2補償器中。

 

 

為高效地將FACT運用到圖2的電路，我們先考慮儲能元件：C1和C2。考慮到它們的獨立狀態(tài)可變—如它們不是串聯(lián)的或并行的--這是個二階系統(tǒng)?？紤]非零準靜態(tài)增益，該系統(tǒng)可以表示為：

 

（11）

 

對于二階系統(tǒng)，我們可以證明分母遵循下列公式：

 

（12）

 

系數(shù)s僅僅是確定零點激勵源的時間常數(shù)之和。S²系數(shù)稍復雜，因其引入了一個新的符號：t1 2 。此符號意味著您“想象”的C2兩端的阻抗，而C1由短路取代。乍一看有點難以理解，但我們稍解釋就會明白。

 

按照求解圖3電路的途徑，我們可研究s = 0的系統(tǒng)，如圖8所示。在分析的過程中，Vref是個完美的源及其動態(tài)響應為0（忽略我們應用的調制，它的電壓是固定的）。因此，它自然不存在于小信號電路，在交流分析中采用短路的形式。

 

圖8：在直流條件下，斷開所有的電容：運算放大器運行于開環(huán)配置。

 

運算放大器提供的電壓相當于開環(huán)增益AOL的?倍。反相引腳的電壓與低邊阻抗Rlower有關，在這種情況下，?是個非零的值：

 

（13）

 

在這個電路中，有兩個電容，因此有兩個單獨的時間常數(shù)。為確定與C2有關的第一個時間常數(shù)，我們將激勵信號設為0，確定C2的阻抗，C2連接端子，而C1從電路中移除，如圖9所示。

 

圖9：第一個時間常數(shù)與電容C2有關：在C2兩端的阻抗是多少？

 

如果在前面的示例中檢驗得很好，但電壓控制源的存在(即運算放大器)-用這簡單的方法是行不通的。為確定由C2端提供的阻抗，我們可連接測試生成器IT，和確定其兩端的電壓VT。然后VT/IT會給我們提供想要的阻抗。涉及電流源的草圖如圖10所示.。您可寫的第一個簡單的等式與?有關。運算放大器的輸入引腳之間的電壓是施加在并聯(lián)的R1和Rlower兩端的電壓的負值：

 

（14）

 

圖10：您裝上一個測試發(fā)生器以確定C2兩端的阻抗。

 

運算放大器的輸出為開環(huán)增益AOL的?倍。因此：

 

（15）

 

將(14)代入(15)得出：

 

（16）

 

VT是電流源的電壓。在其左側端有負的?而右側有偏壓VFB：

 

（17）

 

如果我們從（17）提取VFB，結合（16）的結果，我們有：

 

（18）

 

阻抗可簡單地寫為：

 

（19）

 

因此第一個時間常數(shù)?2表示為：

 

（20）

 

第二個時間常數(shù)與C1有關，需要更新的原理圖，如圖11所示。我們沒有裝電流發(fā)生器，因為結果很明顯：C1兩端的電阻就是已經確定的C2與R2 串聯(lián)后的電阻：

 

圖11：立即確定第二個時間常數(shù)，因為它是C2與R2串聯(lián)的驅動電阻。

 

（21）

 

我們有兩個時間常數(shù)，可進行第二階項。我們需要評估 ，其中C2被短路，我們看C1兩端的電阻。圖12所示為新的草圖。既然我們在涉及R2的回路中有弗蘭克短路，那么電阻R就是R2：

 

（22）

 

因此，如果我們根據(jù)（12）組合時間常數(shù)，得出分母D(s) ：

 

（23）

 

圖12：高頻系數(shù)用了罕見的符號但最終并不復雜：C2短路，只需確定C1兩端的電阻。

 

該二階表達式可重新排列，假設質量因子Q遠小于1。在這種情況下，兩個極點完全分離：一個控制低頻，而第二個位于頻譜的上部。由（12）我們可以證明，兩個極點定義為：

 

（24）

 

（25）

 

如果我們將這些定義應用到（23），簡化和重新排列，得到：

 

（26）

 

（27）

 

現(xiàn)在有了分母，那么這個電路有零點嗎？我們可以運用前述的技巧：如果我們想象，C1或C2短路，然后C1和C2短路，這三個配置有響應嗎？如果C1短路，我們有一個含R2和其他電阻的簡單的逆變器：有個與C1有關的零點。如果C2短路，則運算放大器為0： C2沒有零點。如果兩個電容器都短路，當然，沒有響應。為確定零點位置，圖13中的什么可以防止激勵源的傳播，使響應無輸出信號？如果C1和R2短路，那么響應消失：

 

（28）

 

然后

 

（29）

 

圖13：如果R2與C1的串聯(lián)轉換為短路，那后沒信號的響應：這就解釋了零點是如何產生的。

 

其中給出了零點位于：

 

（30）

 

現(xiàn)在有最終的傳遞函數(shù)

 

（31）

 

及

 

（32）

 

（33）

 

（34）

 

（35）

 

比較電路之間的響應

 

現(xiàn)在比較由type-2電路(其中我們考慮開環(huán)增益)帶來的動態(tài)響應是有意義的，下面給出了type 2完美的傳遞函數(shù)：

 

（36）

 

其中

 

（37）

 

（38）

 

（39）

 

舉例說明，我們對比理想的運放和開環(huán)增益為50 dB的運放（例如TL431），此時補償器必須滿足以下目標：fc = 10 kHz和在此頻率的增益補償20 dB，相位增量必須是65°。R1和Rlower計算用于12V輸出和2.5 V參考電壓。（31）和（36）的兩個動態(tài)響應如圖14所示。交越增益和相位增量的偏差可以忽略不計。然而，在120赫茲頻率時（31）的增益為35 dB，（36）則為45dB。最后，有限的AOL選項的準靜態(tài)增益僅36.4 dB（?66），而無限時則為完美的運算放大器。這些數(shù)字的影響是什么？增益少兩倍時，電源頻率將影響控制系統(tǒng)的能力，抑制整流紋波。輸出變量可能會受到此元件的影響，特別是在電壓模式控制下。此外，若植入增益低，控制變量可能有顯著的靜態(tài)誤差。若您現(xiàn)在選擇具有更高AOL的運放如80 dB，偏差消失，兩曲線相互非常接近，如圖15所示。

 

圖14：在type 2的波特圖中，我們認為開環(huán)增益AOL和低邊電阻Rlower并沒有太大影響原完美的方程式。

 

圖15：當開環(huán)增益AOL增加，兩條曲線很好地重疊。準靜態(tài)增益提高到66.3dB，對比于采用50dB AOL增益時的36 dB。

 

 

這第一部分證明了在補償器中采用非理想的運算放大器時開環(huán)增益的影響。假如運算放大器不是完美的，您可以看到動態(tài)響應中在低頻范圍內弱開環(huán)增益的影響，來評估這種情況導致的性能下降。在這第一部分中，我們只考慮開環(huán)增益的影響。在第二部分中，我們將復雜化分析，將集成電路設計人員自然置于一個運算放大器中以確保穩(wěn)定性的低頻和高頻兩個極點考慮進來。

 

作者：Christophe Basso，安森美半導體公司

 

本文來源于電子技術設計。